一 区间确定，最值确定，函数带参数。

[例1]：当X∈[0，1]时，二次函数f(x)=-X2+4X+C有最大值0。试求C值。

这个二次函数的常数项含有参数C，它是个待确定的参数，利用二次函数在X∈[0，1]上有最大值0这个条件来确定C，怎样解决这个问题？它可以归到上面的哪种情况？二次函数顶点横坐标与所给区间位置关系怎样？

解：顶点横坐标 ，抛物线开口向下

∵[0，1]在X=2的左侧

∴函数在[0，1]上是增函数

∵Ymax=f(1)=0

即-12+4×1+c=0 ∴C=-3。

二 函数确定，最值确定，区间带参数。

[例2]：已知函数f(x)=-x2+4x+2,X∈[0,n]的最小值是2，则n的取值范围是＿＿＿。

从区间表达式[0，n]中，可知n在原点右边，n在哪个范围内才能保证函数在所给区间内有最小值呢？

显然当n在顶点横坐标的左边或恰好在顶点横坐标处，相似图（1）的情况，函数在这个区间内是增函数。x=0时函数有最小值，区间恰好是2，n可以在这个范围内，即0﹤n≤2;但[0，n]也可能包含顶点横坐标，相似图（3）,图（4）的情况，此时，最小值在远离对称轴的端点处，再由二次函数的对称性可得：0＜n≤4。

[例3] 已知函数f(x)=-x +4x+2,x∈[m,m+2]的最大值是2，则m=＿＿＿。

此题中所给区间是带有参数的区间，而且是个区间长度为2又位置不确定区间。

解：当区间[m.m+2]在顶点横坐标2的左边时，可归为图（1）情况，函数在此区间上是增函数。由：f(m+2)=2解得m=2或m=-2,区间为[-2，0]或[2，4]，但[2，4]不在顶点横坐标的左边，即m=2舍去。故m=-2。

当区间[m,m+2]在顶点横坐标的右边，可归为图（2）情况，函数在此区间上是减函数，由f(m)=2,解的m=0或m=4，区间为[0，2]或[4，6]，而区间[0，2]不在顶点横坐标的右边，即m=0舍去。故m=4。

当区间[m,m+2]包含顶点横坐标，最大值在顶点处取得纵坐标值6，显然不合题意。

综上讨论可知：m=-2或m=4。

通过以上例题解析可知，二次函数在给定闭区间内的最值问题，必须根据顶点的横坐标在区间内、区间左边、区间右边三种情况讨论。

三 可化为二次函数的最值问题。

[例4]：求函数Y=-(sinx)2+4sinx+2的最值。

利用换元的思想可转化为二次函数来讨论。令t=sinx.则原函数可化为：y=-t2+4t+2.二次函数在哪个范围讨论它的最值呢？条件显然隐含在函数表达式中。

∵x∈R ∴sinx∈[-1,1]

∴问题转化为求Y=-t2+4t+2在t∈[-1,1]的最值。

对于二次函数的Y=-t2+4t+2来说，它的顶点横坐标是2，区间[-1，1]在对称轴的左边，Y=-t2+4t+2在[-1，1]上为增函数。∴t=-1时 Ymin=-(-1)2+4×（-1）+2=-3 ；t=1时，Ymax=-12+4×1+2=5。