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力学与电学
力学与电学光学的综合力学与电学综合
带电物体在电场中的静止及在电场、磁场中的运动，通电导体在磁场中的静止和运动，这类问题除了应用电场、磁场和电磁感应等方面的知识外，还需要应用相应的力学规律．当电场是由连接在电路中的电容器产生时，当导体切割磁感线产生感应电动势而又形成闭合回路时，问题还可与恒定电流或交流电的知识联系在一起．力、电综合问题是历年高考的一个热点，正确分析物体的受力情况，是求解的关键．
例3（1997年高考科研试题） 如图2所示的电路中，四个电阻的阻值均为Ｒ，Ｅ为直流电源，其内阻可以不计，没有标明哪一极是正极．平行板电容器两极板间的距离为ｄ．在平行板电容器的两个平行极板之间有一质量为ｍ、电量为ｑ的带电小球．当开关Ｓ闭合时，带电小球静止在两极板间的中点Ｏ处，现把开关打开，带电小球便向平行板电容器的某个极板运动，并与此极板碰撞．设在碰撞时没有机械能损失，但带电小球的电量发生变化．碰后小球带有与该极板相同性质的电荷，而且所带电量恰好刚能使它运动到平行板电容器的另一极板．求小球与电容器某个极板碰撞后所带的电荷．
图2
解 当开关Ｓ闭合时，设两极板间的电压为Ｕ，由ｑＵ／ｄ＝ｍｇ得Ｕ＝ｍｇｄ／ｑ．
由于重力ｍｇ方向向下，故推得小球受的电场力ｑＵ／ｄ必定向上，小球所带电荷的正负与下面极板的极性相同．由电路可知，当开关Ｓ断开时，两极板的极性不变．设电源电动势为 ，开关Ｓ断开后电容器两极间的电压为Ｕ′，由电路的分压关系可得
Ｕ＝2 ／3，Ｕ′＝ ／2，
从而Ｕ′＝（3／4）Ｕ＝3ｍｇｄ／4ｑ．
由于Ｕ′小于Ｕ，小球所受电场力变小，小球向下面极板运动，设速度从零增大到ｖ，由动能定理，得
（ｍｇｄ／2）－（ｑＵ′／2）＝（1／2）ｍｖ2－0．
设小球与下面极板碰撞后电量变为ｑ′，小球恰能运动到上极板，由动能定理，得
－ｍｇｄ＋ｑ′Ｕ′＝0－（1／2）ｍｖ2，
联立解得 ｑ′＝（7／6）ｑ．
说明 本例涉及含有电容器的电路和带电小球在电场中的平衡及加速问题，求解时需综合应用电路的串、并联关系、二力平衡条件和动能定理等规律，正确分析带电小球的运动过程是解题的关键．
例4（2000年高考科研试题） 如图3所示，两根相距为ｄ的足够长的平行金属导轨位于水平的ｘＯｙ平面内，一端接有阻值为Ｒ的电阻．在ｘ＞0的一侧存在沿竖直方向的非均匀磁场，磁感强度Ｂ随ｘ的增大而增大，Ｂ＝ｋｘ，式中的ｋ是一常量．一金属直杆与金属导轨垂直，可在导轨上滑动．当ｔ＝0时位于ｘ＝0处，速度为ｖ０，方向沿ｘ轴的正方向．在运动过程中，有一大小可调节的外力Ｆ作用于金属杆以保持金属杆的加速度恒定，大小为ａ，方向沿ｘ轴的负方向．设除外接的电阻Ｒ外，所有其他电阻都可以忽略．问：
（1）该回路中的感应电流持续的时间多长?
（2）当金属杆的速度大小为ｖ０／2时，回路中的感应电动势有多大?
（3）若金属杆的质量为ｍ，施加于金属杆的外力Ｆ与时间ｔ的关系如何?
图3
解 （1）金属杆在导轨上先是向右做加速度为ａ的匀减速直线运动，到导轨右方最远处速度为零，后又沿导轨向左做加速度为ａ的匀加速直线运动．当过了ｙ轴后，由于已离开了磁场区，故回路不再有感应电流．以ｔ１表示金属杆做匀减速运动的时间，有ｔ１＝ｖ０／ａ．从而，回路中感应电流持续的时间
Ｔ＝2ｔ１＝2ｖ０／ａ．
（2）以ｘ１表示金属杆的速度变为ｖ１＝ｖ０／2时它所在的ｘ坐标，由ｖ１2＝ｖ０2－2ｘ１，可得
ｘ１＝3ｖ０2／8ａ，从而，此时金属杆所在处的磁感强度
Ｂ１＝ｋｘ１＝3ｋｖ０2／8ａ，所以，此时回路中的感应电动势
１＝Ｂ１ｖ１ｌ＝3ｋｖ０3ｄ／16ａ．
（3）以ｖ和ｘ表示ｔ时刻金属杆的速度和它所在的ｘ坐标，有
ｖ＝ｖ０－ａｔ，ｘ＝ｖ０ｔ－（1／2）ａｔ2，
故由金属杆切割磁感线产生的感应电动势
＝Ｂｖｄ＝ｋｘｖｄ＝ｋ（ｖ０ｔ－（1／2）ａｔ2）（ｖ０－ａｔ）ｄ，（式中ｔ＜Ｔ＝2ｖ０／ａ）
从而，回路中的电流
Ｉ＝ ／Ｒ＝ｋ（ｖ０ｔ－（1／2）ａｔ2）（ｖ０－ａｔ）ｄ／Ｒ，
考虑到力的方向，金属杆所受的安培力
ｆ＝－ＩＢｄ＝－ｋ2（ｖ０ｔ－（1／2）ａｔ2）2（ｖ０－ａｔ）ｄ2／Ｒ，
由牛顿第二定律知
Ｆ＋ｆ＝－ｍａ，
解得作用在金属杆上的外力
Ｆ＝（ｋ2（ｖ０ｔ－（1／2）ａｔ2）2（ｖ０－ａｔ）ｄ2／Ｒ）－ｍａ．（式中ｔ＜Ｔ＝2ｖ０／ａ）
说明 本例涉及金属杆切割磁感线的电磁感应问题．电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起，要运用力学和电磁学的综合知识来解答．本例的解答便综合运用了运动学公式、牛顿第二定律、感应电动势、安培力计算及欧姆定律等知识．
力学与光学的综合
物体和光具（如平面镜、透镜）的平移、旋转及振动，可将光路、成像和运动交织在一起，构成力学与几何光学的综合题．物理光学中有关光源的功率、物体对光能的吸收等问题，也常常涉及力学的功能概念．
例5 如图4所示，临界角Ｃ为45°的液面上有一点光源Ｓ发出一束光垂直入射到水平放置于液体中且距液面为ｄ的平面镜Ｍ上．当平面镜M绕垂直过中心Ｏ的轴以角速度ω做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者们观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少?
解 设平面镜转过θ角时，光线反射到水面上的Ｐ点，光斑速度为ｖ，由图5可知
ｖ＝ｖ⊥／ｃｏｓ2θ，
而 ｖ⊥＝ｌ•2ω＝（ｄ／ｃｏｓ2θ）•2ω，
故 ｖ＝2ωｄ／ｃｏｓ２2θ，
液体的临界角为Ｃ，当2θ＝Ｃ＝45°时ｖ达最大速度ｖｍａｘ，即
ｖｍａｘ＝2ωｄ／ｃｏｓ２Ｃ＝4ωｄ．
图4 图5
说明 本例涉及平面镜旋转、光的反射及全反射现象，需综合运用反射定律、速度的分解、线速度与角速度的关系等知识求解．确定光斑掠移速度的极值点及其与平面镜转动角速度间的关系，是求解本例的关键．