1． 复习提问 、引入新课
问题1：椭圆的第一定义是什么？同时教师用多媒体课件演示椭圆轨迹的形成过程。
问题2：椭圆的标准方程是怎样的？字母b与a、c的关系如何？为什么要令 ？
问题3：如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？
（1）叫学生用课前准备好的用具在纸板上按课本要求画图，接着老师用多媒体课件演示探索双曲线概念。
（2）设问：
① 定点F1、F2与动点M不在同一平面内，能否得到双曲线？
请学生回答：不能，必须指出“在平面内”。
② M 到F1与F2两点的距离的差有什么关系？
请学生回答：M 到F1与F2的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，即 是一个常数。
③ 这个常数是否会大于或等于 ？
请学生回答：应小于 且大于零。当常数= 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞ 时，无轨迹。
2．形成概念、推导方程
（1）双曲线定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
（2）标准方程的推导
请同学回忆椭圆标准方程的推导过程，引导学生利用此法推导双曲线的标准方程。
①建系设点
类似椭圆有两种建系方法（如图）选择方法一，推导方程。









（1） （2）
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系如图（1）
设 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 ，则 、 ，
又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 。
②列式： ，
③化简：教师启发学生类比椭圆方程进行化简得：
…………（*）
为使方程简单、整齐、对称。
令 其中 代入（*）式，得
…………（**）
再将（**）式两边同除以 ，得
…………（1）
这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 、 ，这里 。
④ 证明：略（课本不要求）
如果双曲线的焦点在y轴上，即焦点 、 可以得到方程：
…………（2）
3．两种标准方程的比较
（1）两种方程中都有 但 不一定大于 ；
（2）如果 的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果 的系数是正的，那么焦点 在y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置。
（3）双曲线的标准方程中 的关系是 ,不同于椭圆方程中 。
4．例题分析
例1 求椭圆 与双曲线 的焦点坐标，说明它们有何关系？
由同学板演完成，答案是（4，0）、（-4，0）。
例2 已知双曲线两个焦点的坐标为 、 ，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。若把上面的6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
解： 因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的方程为

， ，
所以所求双曲线的标准方程为
若 ， 则 ，所以动点无轨迹。
5．巩固练习 见课本P107 ex2 ex4 （1） （2）
答案： 2。 或 ， 4。（1） （2）
6．归纳小结
1．双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
当 时是双曲线；当 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当 时，无轨迹。
2． 双曲线的标准方程：
焦点在x轴上双曲线的标准方程为
焦点在y轴上双曲线的标准方程为
焦点所在的坐标轴由 与 的系数正、负来确定。
3．双曲线的标准方程中 的关系是 ,不同于椭圆方程中 。